Giải bài tập 9.40 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I; b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Đề bài
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;
b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh ^AEH=^AFH=90o nên tam giác AEH vuông tại E, tam giác AHF vuông tại F.
+ Suy ra, tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I.
b) Chứng minh ^IEA=^EBC, ^MCE=^MEC, ^ECB+^EBC=90o nên ^MEC+^IEA=90o.
+ Tính được ^IEM=90o nên IE⊥ME tại M, nên ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
+ Chứng minh tương tự ta có: MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Lời giải chi tiết
a) Vì BE, CF là đường cao của ΔABC nên BE⊥AC,CF⊥AB⇒^AEH=^AFH=^BFC=^BEC=90o
Do đó, tam giác AFH vuông tại F và tam giác AEH vuông tại E.
Suy ra, bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Mà I là trung điểm của AH nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I.
b) Vì tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I nên IA=IE. Do đó, ΔIAE cân tại I nên ^IAE=^IEA.
Lại có: ^EAI=^EBC (cùng phụ với góc ACB) nên ^IEA=^EBC (1)
ΔBEC vuông tại E, EM là đường trung tuyến nên EM=MC. Do đó, ΔMEC cân tại M.
Suy ra, ^MCE=^MEC (2)
ΔBEC vuông tại E nên ^ECB+^EBC=90o (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: ^MEC+^IEA=90o.
Mà ^MEC+^IEA+^IEH+^HEM=180o⇒^IEM=90o. Do đó, IE⊥ME tại M. Mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF nên ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Chứng minh tương tự ta có: MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.