Giải bài tập 9.41 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng các tứ giác ANOP, BPOM, CMON là các tứ giác nội tiếp.
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng các tứ giác ANOP, BPOM, CMON là các tứ giác nội tiếp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh được OM⊥BC,ON⊥AC,OP⊥AB.
+ Chứng minh ΔANO vuông tại N và ΔAOP vuông tại P nên tứ giác ANOP là tứ giác nội tiếp.
+ Chứng minh ΔCNO vuông tại N và ΔCOM vuông tại M nên tứ giác CMON là tứ giác nội tiếp.
+ Chứng minh ΔMOB vuông tại M và ΔBOP vuông tại P nên tứ giác BPOM là tứ giác nội tiếp.
Lời giải chi tiết
ΔAOB có OA=OB (bán kính đường tròn (O)) nên ΔOAB cân tại O, OP là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Suy ra: OP⊥AB nên ΔOPA vuông tại P và ΔOBP vuông tại P.
Chứng minh tương tự ta có: ΔMOB vuông tại M, ΔCOM vuông tại M, ΔNOC vuông tại N, ΔNOA vuông tại N.
Vì ΔOPA vuông tại P nên P thuộc đường tròn đường kính AO, ΔNOA vuông tại N nên N thuộc đường tròn đường kính AO. Do đó, tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn đường kính AO.
Vì ΔOPB vuông tại P nên P thuộc đường tròn đường kính BO, ΔMOB vuông tại M nên M thuộc đường tròn đường kính BO. Do đó, tứ giác BPOM nội tiếp đường tròn đường kính BO.
Vì ΔCOM vuông tại M nên M thuộc đường tròn đường kính CO, ΔNOC vuông tại N nên N thuộc đường tròn đường kính CO. Do đó, tứ giác CMON nội tiếp đường tròn đường kính CO.