Giải bài tập 9 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M\left( {90;0;30} \right),N\left( {90;120;30} \right)$,$P\left( {0;\;120;\;30} \right),Q\left( {0;\;0;\;30} \right)$ (Hình 34)

Giả sử ${K_0}$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và ${K_0}M = {K_0}N = {K_0}P = {K_0}Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm ${K_1}$ cao độ bằng 19. tìm các điểm ${K_0},{K_1}$ và vector $\overrightarrow {{K_0}{K_1}}$

Lời giải chi tiết

Đầu tiên, chúng ta cần xác định vị trí ban đầu của camera, điểm ${K_0}$. Vì$\;{K_0}M = {K_0}N = {K_0}P = {K_0}Q$, nghĩa là ${K_0}$ nằm ở trung tâm của hình hộp chữ nhật tạo bởi $M,N,P,Q$. Do đó, tọa độ của ${K_0}$ sẽ là trung bình cộng của tọa độ của $M,N,P,Q$.

Tọa độ của ${K_0}$ sẽ là:

${K_0} = \left( {\frac{{90 + 90 + 0 + 0}}{4},\frac{{0 + 120 + 120 + 0}}{4},25} \right) = \left( {45,60,25} \right)$

Tiếp theo, chúng ta cần xác định vị trí của camera sau khi nó được hạ xuống, điểm ${K_1}$. Vì camera được hạ theo phương thẳng đứng, nên tọa độ x và y của ${K_1}$ sẽ giống như ${K_0}$, chỉ có tọa độ z (cao độ) thay đổi.

Vậy tọa độ của$\;{K_1}$  sẽ là: ${K_1}\left( {45,60,19} \right)$

Cuối cùng, vector từ ${K_0}$ đến ${K_1}$, $\overrightarrow {{K_0}{K_1}}$, sẽ là:

$\overrightarrow {{K_0}{K_1}}  = \;{K_1} - {K_0} = \left( {0,0,19 - 25} \right) = \left( {0,0, - 6} \right)$

Vậy, điểm ban đầu của camera là ${K_0}\left( {45,\;60,\;25} \right)$, điểm sau khi camera được hạ xuống là ${K_1}\left( {45,\;60,\;19} \right)$ và vector từ ${K_0}$ đến ${K_1}$ là $\overrightarrow {{K_0}{K_1}} \left( {0,0, - 6} \right).$