Giải mục 1 trang 11 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Khám phá 1

Quan sát các điểm được vẽ trên mặt phẳng tọa độ (Hình 1).

a) Có nhận xét gì về các vectơ $\overrightarrow {AA'} ,\,\overrightarrow {BB'} ,\,...,\,\overrightarrow {EE'}$

b) Có hay không phép biến hình biến các điểm A, B, C, D, E thành các điểm A’, B’, C’, D’, E’?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 1, nhận xét về hướng, độ dài của các vectơ

Lời giải chi tiết:

a) Quan sát Hình 1, ta thấy các vectơ $\overrightarrow {AA'} ,\,\overrightarrow {BB'} ,\,...,\,\overrightarrow {EE'}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Vậy $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {EE'}$

b) Ta đặt ${\rm{\vec u}} = \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {EE'}$

Khi đó tồn tại phép biến hình biến điểm A thành điểm A’ sao cho $\overrightarrow {AA'}  = {\rm{\vec u}}$

Tương tự như vậy, ta thấy phép biến hình đó cũng biến các điểm B, C, D, E thành các điểm B’, C’, D’, E’ sao cho $\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {EE'}  = {\rm{\vec u}}$

Vậy có phép biến hình biến các điểm A, B, C, D, E thành các điểm A’, B’, C’, D’, E’

Thực hành 1

Chứng minh phép đồng nhất là một phép tịnh tiến.

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\overrightarrow u$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử A’ là ảnh của A qua phép đồng nhất f. Tức là, A’ = f(A).

Suy ra $A'{\rm{ }} \equiv {\rm{ }}A$ hay $AA'{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

Khi đó $\overrightarrow {AA'}  = \vec 0$.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì, ta lấy điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép đồng nhất f.

Khi đó ta cũng có $\overrightarrow {MM'}  = \vec 0$.

Vậy phép đồng nhất là một phép tịnh tiến theo $\vec 0$

Vận dụng 1

Tìm độ dài vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến theo vectơ ${\rm{\vec v}}$ biến các điểm A, B, C, D, E thành A’, B’, C’, D’, E’ trong Hoạt động khám phá 1 (biết cạnh mỗi ô vuông là 1 đơn vị).

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\overrightarrow u$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$.

Nếu $M'(x';y')$ là ảnh của $M(x;y)$ qua phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ , $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)$ thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là $\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Từ Hoạt động khám phá 1 , ta có ${\rm{\vec u}} = \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {EE'}$.

Ta đặt ${\rm{\vec v}} = {\rm{\vec u}}$

Khi đó phép tịnh tiến theo ${\rm{\vec v}} = {\rm{\vec u}}$ biến các điểm A, B, C, D, E thành điểm A’, B’, C’, D’, E’.

Dựng $\Delta AA'M$ vuông tại M (như hình vẽ).

Ta có $AM{\rm{ }} = {\rm{ }}1$ (đơn vị), $A'M{\rm{ }} = {\rm{ }}10$ (đơn vị) (do cạnh mỗi ô vuông là 1 đơn vị).

Suy ra $AA' = \sqrt {A{M^2} + {\rm{A'}}{{\rm{M}}^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{10}^2}}  = \sqrt {101}$.

Khi đó $\left| {{\rm{\vec v}}} \right| = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| = AA' = \sqrt {101}$

Vậy độ dài vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến theo vectơ ${\rm{\vec v}}$ là $\sqrt {101}$.