Giải mục 1 trang 34, 35 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ1

a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

$\begin{array}{l}\alpha  = {90^o};\\\alpha  < {90^o};\\\alpha  > {90^o}.\end{array}$

b) Khi ${0^o} < \alpha  < {90^o}$, nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha ,\;\sin \alpha$ với hoành độ và tung độ của điểm M.

Phương pháp giải:

a) Quan sát góc$\alpha  = \widehat {xOM}$ trong các trường hợp tương ứng. Khi ấy M thuộc cung nào?

b) Khi ${0^o} < \alpha  < {90^o}$ thì $\cos \alpha  = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}},\;\sin \alpha  = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}};$ trong đó $OM = R = 1$.

Lời giải chi tiết:

a) Khi $\alpha  = {90^o}$, điểm M trùng với điểm C. (Vì $\widehat {xOC} = \widehat {AOC} = {90^o}$)

Khi $\alpha  < {90^o}$, điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)

Khi $\alpha  > {90^o}$, điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)

b) Khi ${0^o} < \alpha  < {90^o}$ , ta có:

$\begin{array}{l}\cos \alpha  = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{x_0}} \right| = {x_0};\\\sin \alpha  = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{y_o}} \right| = {y_o}\end{array}$

Vì $OM = R = 1$; ${x_0} \in$tia $Ox$nên ${x_0} > 0$; ${y_0} \in$tia $Oy$nên ${y_0} > 0$

Vậy $\cos \alpha$ là hoành độ ${x_0}$của điểm M, $\sin \alpha$ là tung độ ${y_0}$ của điểm M.

Luyện tập 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc ${120^o}$ (H.3.4)

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = {120^o}$

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos {120^o},\;\sin {120^o}$

Từ đó suy ra $\;\tan {120^o} = \dfrac{{\sin {{120}^o}}}{{\cos {{120}^o}}},\;\;\cot {120^o} = \dfrac{{\cos {{120}^o}}}{{\sin {{120}^o}}}.$

Lời giải chi tiết:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = {120^o}$

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  $\widehat {xOM} = {120^o} > {90^o}$ nên M nằm bên trái trục tung.

Khi đó:$\;\cos {120^o} =  - \,\;\overline {ON} ,\;\;\sin {120^o} = \overline {OP}$

Vì $\widehat {xOM} = {120^o}$ nên $\widehat {NOM} = {180^o} - {120^o} = {60^o}$ và $\widehat {POM} = {120^o} - {90^o} = {30^o}$

Vậy các tam giác $\Delta MON$ và $\Delta MOP$ vuông tại N, p và có một góc bằng ${30^o}$

$\Rightarrow ON = MP = \frac{1}{2}OM = \frac{1}{2}$(Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc ${30^o}$ bằng một nửa cạnh huyền)

Và $OP = MN = \sqrt {O{M^2} - O{N^2}}  = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Vậy điểm M có tọa độ là $\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

Và $\cos {120^o} =  - \frac{1}{2};\;\;\;\sin {120^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l}\; \Rightarrow \;\tan {120^o} = \frac{{\sin {{120}^o}}}{{\cos {{120}^o}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}:\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \sqrt 3 ;\\\cot {120^o} = \frac{{\cos {{120}^o}}}{{\sin {{120}^o}}} = \left( { - \frac{1}{2}} \right):\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\end{array}$

Chú ý

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc ${120^o}$

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT”  “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính $\sin {120^o}$, bấm phím:  sin  1  2  0  $^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Tính $\cos {120^o}$,bấm phím:  cos  1  2  0  $^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{{ - 1}}{2}$

Tính $\tan {120^o}$, bấm phím:  tan  1  2  0  $^o$’’’  = ta được kết quả là $- \sqrt 3$

( Để tính $\cot {120^o}$, ta tính $1:\tan {120^o}$)