Giải mục 1 trang 39, 40 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Cho hai phân thức
Hoạt động 1
Cho hai phân thức \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{{x + 1}}\).
a) Tìm đa thức thích hợp cho mỗi ô ?
\(\frac{1}{x} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}};\)
\(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)
b) Em có nhận xét gì về mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a?
Phương pháp giải:
a) Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức này với mẫu của phân thức kia.
b) Dựa vào bài làm ý a.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\frac{1}{x} = \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)
\(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)
b) Mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a đều bằng \(x\left( {x + 1} \right)\)và chính là tích mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức.
Luyện tập 1
Tìm một mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.
Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:
- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1
- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy \(27{x^2} - 9x = 9x\left( {3x - 1} \right)\) và \(36{x^3} - 12{x^2} = 12{x^2}\left( {3x - 1} \right)\)
Vậy mẫu thức chung của hai phân thức có thể là \(36{x^2}\left( {3x - 1} \right)\)
Hoạt động 2
Muốn quy đồng hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\) nêu trong luyện tập 1 thì cần nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với đa thức nào?
Phương pháp giải:
Ta tìm mẫu thức chung:
Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.
Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:
- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1
- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(27{x^2} - 9x = 9x\left( {3x - 1} \right)\); \(36{x^3} - 12{x^2} = 12{x^2}\left( {3x - 1} \right)\)
Vậy mẫu thức chung là: \(36{x^2}\left( {3x - 1} \right)\)
Để quy đồng hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\) ta cần nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\)với \(4x\) và nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\)với \(3\)
Luyện tập 2
Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{{x + 1}}{{4{x^3} - 8{x^2}}}\) và \(\frac{{2x - 3}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
Phương pháp giải:
Ta tìm mẫu thức chung
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Lời giải chi tiết:
Hai phân thức có mẫu thức chung là \(12{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}\)
Ta có \(\frac{{x + 1}}{{4{x^3} - 8{x^2}}} = \frac{{x + 1}}{{4{x^2}\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x + 1} \right).3.\left( {x - 2} \right)}}{{4{x^2}\left( {x - 2} \right).3.\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{3\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{12{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{2x - 3}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x - 3} \right).2x}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}.2x}} = \frac{{2x\left( {2x - 3} \right)}}{{12{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)