Giải mục 2 trang 106,107 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ 3

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 2 + \frac{1}{n},\;\;\;{v_n} = 3 - \frac{2}{n}$

Tính và so sánh: $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ và $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n}$

Phương pháp giải:

Tính ${u_n} + {v_n}$ và dùng công thức $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty }\frac{1}{n}=0$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${u_n} + {v_n} = 2 + \frac{1}{n} + 3 - \frac{2}{n} = 5 - \frac{1}{n}$

Do đó: $\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\; = 5$

${u_n}\; = 2$, ${v_n}\; = 3$

Vậy $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n}$

LT 3

Tìm $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}$.

Phương pháp giải:

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n , rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

$\frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\; = \frac{{\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{n}}}\; = \frac{{\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right)\;}}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\;}} = \frac{{\sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2$.