Giải mục 2 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 2

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt x$ tại điểm $x = {x_0}$ với ${x_0} > 0$.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$.

Lời giải chi tiết:

Với bất kì ${x_0} > 0$, ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x_0}}  + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\end{array}$

Vậy $f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Thực hành 2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \sqrt x$ tại điểm có hoành độ bằng 4.

Phương pháp giải:

Hệ số góc: $f'\left( {{x_0}} \right)$.

Phương trình tiếp tuyến: $y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

${y_0} = \sqrt 4  = 2$

Ta có: ${\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ nên tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {4;2} \right)$ có hệ số góc là: $f'\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M$ là:

$y - 2 = \frac{1}{4}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x - 1 + 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x + 1$.

Thực hành 3

Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) $y = \sqrt[4]{x}$ tại $x = 1$;

b) $y = \frac{1}{x}$ tại $x =  - \frac{1}{4}$;

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức ${\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {x^{\alpha  - 1}}\left( {x > 0} \right)$.

b) Sử dụng công thức ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{x^2}}}\left( {x \ne 0} \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) $y' = {\left( {\sqrt[4]{x}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{4}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{4}{x^{\frac{1}{4} - 1}} = \frac{1}{4}{x^{ - \frac{3}{4}}} = \frac{1}{{4\sqrt[4]{{{x^3}}}}}$

$y'\left( 1 \right) = \frac{1}{{4\sqrt[4]{{{1^3}}}}} = \frac{1}{4}$.

b) $y' = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{x^2}}}$

$y'\left( { - \frac{1}{4}} \right) =  - \frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^2}}} =  - 16$.