Giải mục 2 trang 54 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 2

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$. Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai $d$ của $\left( {{u_n}} \right)$: ${u_2} - {u_1};{u_3} - {u_1};{u_4} - {u_1};...;{u_n} - {u_1}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_2} - {u_1} = d\\{u_3} - {u_1} = \left( {{u_2} + d} \right) - {u_1} = {u_2} + d - {u_1} = \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + d = d + d = 2{\rm{d}}\\{u_4} - {u_1} = \left( {{u_3} + d} \right) - {u_1} = {u_3} + d - {u_1} = \left( {{u_3} - {u_1}} \right) + d = 2d + d = 3{\rm{d}}\\ \vdots \\{u_n} - {u_1} = \left( {n - 1} \right)d\end{array}$

Thực hành 3

Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng $\left( {{a_n}} \right)$ có ${a_1} = 5$ và $d =  - 5$;

b) Cấp số cộng $\left( {{b_n}} \right)$ có ${b_1} = 2$ và ${b_{10}} = 20$.

Phương pháp giải:

Thay vào công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát là: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2$.

Lời giải chi tiết:

a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{a_n}} \right)$ là:

${a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + \left( {n - 1} \right).\left( { - 5} \right) = 5 - 5n + 5 = 10 - 5n$.

b) Giả sử cấp số cộng $\left( {{b_n}} \right)$ có công sai $d$. Ta có:

${b_{10}} = {b_1} + \left( {10 - 1} \right)d \Leftrightarrow 20 = 2 + 9d \Leftrightarrow 9d = 18 \Leftrightarrow d = 2$.

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{b_n}} \right)$ là:

${b_n} = {b_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + \left( {n - 1} \right).2 = 2 + 2n - 2 = 2n$.

Vận dụng 2

Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{c_n}} \right)$ có ${c_4} = 80$ và ${c_6} = 40$.

Phương pháp giải:

Biểu diễn các số hạng của cấp số cộng theo ${c_1}$ số hạng đầu và công sai $d$ rồi giải hệ phương trình.

Lời giải chi tiết:

Giả sử cấp số cộng $\left( {{c_n}} \right)$ có số hạng đầu ${c_1}$ và công sai $d$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{c_4} = {c_1} + \left( {4 - 1} \right){\rm{d}} = {c_1} + 3{\rm{d}} \Leftrightarrow {c_1} + 3{\rm{d}} = 80\left( 1 \right)\\{c_6} = {c_1} + \left( {6 - 1} \right){\rm{d}} = {c_1} + 5{\rm{d}} \Leftrightarrow {c_1} + 5{\rm{d}} = 40\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{c_1} + 3{\rm{d}} = 80\\{c_1} + 5{\rm{d}} = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 140\\d =  - 20\end{array} \right.$

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{c_n}} \right)$ là:

${c_n} = {c_1} + \left( {n - 1} \right)d = 140 + \left( {n - 1} \right).\left( { - 20} \right) = 140 - 20n + 20 = 160 - 20n$.