Giải mục 2 trang 59 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 2

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$. Tính ${u_2},{u_3},{u_4}$ và ${u_{10}}$ theo ${u_1}$ và $q$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức ${u_{n + 1}} = {u_n}.q$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_2} = {u_1}.q\\{u_3} = {u_2}.q = \left( {{u_1}.q} \right).q = {u_1}.{q^2}\\{u_4} = {u_3}.q = \left( {{u_1}.{q^2}} \right).q = {u_1}.{q^3}\\ \vdots \\{u_{10}} = {u_1}.{q^9}\end{array}$.

Thực hành 2

Viết công thức số hạng tổng quát ${u_n}$ theo số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ của các cấp số nhân sau:

a) $5;10;20;40;80;...$

b) $1;\frac{1}{{10}};\frac{1}{{100}};\frac{1}{{1000}};\frac{1}{{10000}};...$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát là: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2$.

Lời giải chi tiết:

a) Cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 5$ và công bội $q = 2$.

Vậy ta có: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {5.2^{n - 1}}$.

b) Cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công bội $q = \frac{1}{{10}}$.

Vậy ta có: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{10}^{n - 1}}}}$.

Vận dụng 3

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa (theo; https://vi.wikipedia.org/wiki/Poloni-210). Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau:

a) 690 ngày.

b) 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát là: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2$.

Lời giải chi tiết:

Dãy số chỉ khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau $n$ chu kì là một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 20$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.

a) Sau 690 ngày thì số chu kì bán rã thực hiện được là: $690:138 = 5$ (chu kì).

Vậy khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: ${u_5} = {u_1}.{q^4} = 20.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = 1,25$ (gam).

b) Sau 7314 ngày thì số chu kì bán rã thực hiện được là: $7314:138 = 53$ (chu kì).

Vậy khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: ${u_{53}} = {u_1}.{q^{52}} = 20.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{52}} \approx 4,44.{10^{ - 15}}$ (gam).