Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Hoạt động 9

Cho hai hàm số $f(x);\,g(x)$ xác định trên khoảng (a; b), cùng có đạo hàm tại điểm ${x_0} \in (a;b)$

a)     Xét hàm số $h(x) = f(x) + g(x);\,\,x \in (a;b)$. So sánh

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) - h({x_0})}}{{\Delta x}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - g({x_0})}}{{\Delta x}}$

b)    Nêu nhận xét về $h'({x_0})$ và $f'({x_0}) + g'({x_0})$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

Lời giải chi tiết:

a)     Ta có: $\Delta x = x - {x_0},\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) - h({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) + g(x) - f({x_0}) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\end{array}$

b)    $h'({x_0})$ = $f'({x_0}) + g'({x_0})$

LT9

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí đạo hàm của tích.

Lời giải chi tiết:

$f'\left( x \right)=x'\sqrt{x}+x\left( \sqrt{x} \right)'=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Hoạt động 10

Cho hàm số $y = f(u) = \sin u;\,\,u = g(x) = {x^2}$

a)     Bằng cách thay u bởi ${x^2}$ trong biểu thức $\sin u$, hãy biểu thị giá trị của y theo biến số x.

b)    Xác định hàm số $y = f(g(x))$

Phương pháp giải:

Thay biểu thức vào để tính

Lời giải chi tiết:

a)     $f\left( u \right) = \sin {x^2}$

b)    Hàm số: $y = f\left( {{x^2}} \right) = \sin {x^2}$

LT10

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=\tan x+\cot x$ tại điểm ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí đạo hàm của tổng và đạo hàm của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)=\tan 'x+\cot 'x=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$

Tại ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}$, $f'\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{3}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{3}}=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$.

LT11

Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)$ là hàm hợp của hai hàm số nào?

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm của hàm hợp.

Lời giải chi tiết:

Đặt u = 3x + 1, ta có: $y={{\log }_{3}}u$.

Vậy $y={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)$ là hàm hợp của hai hàm số $y={{\log }_{3}}u$, u = 3x + 1.

LT12

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $y={{e}^{3x+1}}$

b) $y={{\log }_{3}}\left( 2x-3 \right)$

Phương pháp giải:

Dựa vào quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

Lời giải chi tiết:

a) Đặt u = 3x + 1, y = log ₃ u. Khi đó: y’ _u = e ^u ; u’ _x = 3.

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:

y’ _x = y’ _u .u’ _x = e ^u .3 = 3.e ^{3x + 1} _.

b) Đặt u = 2x - 3, y = e ^u . Khi đó: y’ _u = $\frac{1}{u\ln 3}$; u’ _x = 2.

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:

y’ _x = y’ _u .u’ _x = $\frac{1}{u\ln 3}$.2 = $\frac{2}{\left( 2x-3 \right)\ln 3}$ _.