Giải mục 2 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.$

a) Tính $\lim {u_n},\lim {v_n}.$

b) Tính $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ và so sánh giá trị đó với tổng $\lim {u_n} + \lim {v_n}.$

c) Tính $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)$ và so sánh giá trị đó với tích $\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a$hay ${u_n} \to a$khi  $n \to  + \infty$ hay $\lim {u_n} = a$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\lim \left( {8 + \frac{1}{n} - 8} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0$ nên $\lim {u_n} = 8.$

Vì $\lim \left( {4 - \frac{2}{n} - 4} \right) = \lim \frac{{ - 2}}{n} = 0$ nên $\lim {v_n} = 4.$

b) ${u_n} + {v_n} = 8 + \frac{1}{n} + 4 - \frac{2}{n} = 12 - \frac{1}{n}$

Vì $\lim \left( {12 - \frac{1}{n} - 12} \right) = \lim \frac{{ - 1}}{n} = 0$ nên $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 12.$

Mà $\lim {u_n} + \lim {v_n} = 12$

Do đó $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n}.$

c) ${u_n}.{v_n} = \left( {8 + \frac{1}{n}} \right).\left( {4 - \frac{2}{n}} \right) = 32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}$

Sử dụng kết quả của ý b ta có $\lim \left( {32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right) = \lim 32 - \lim \frac{{14}}{n} - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 32$

Mà $\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right) = 32$

Do đó $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).$

Luyện tập, vận dụng 4

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}};$

b) $\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a$hay ${u_n} \to a$khi  $n \to  + \infty$ hay $\lim {u_n} = a$.

Lời giải chi tiết:

a) $\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}} = \lim \left( {8 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 8 + \lim \frac{1}{n} = 8 + 0 = 8$

b) $\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n} = \lim \frac{{n\sqrt {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} }}{n} = \sqrt {\lim \left( {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} \right)}  = \sqrt {0 + 1}  = 1$