Giải mục 3 trang 112, 113, 114 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Hoạt động 4

Hãy nêu lại công thức tính thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác.

Phương pháp giải:

Nhớ lại công thức để nêu ra.

Lời giải chi tiết:

Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

V = B.h với B là diện tích đáy, h là chiều cao khối lăng trụ.

Luyện tập 4

Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$' biết tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu của $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm của $AB$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: $V = Sh$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)$

$AH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

$\Delta AA'H$ vuông tại $H$$\Rightarrow A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.A'H = \frac{{3{a^3}}}{8}\end{array}$

Luyện tập 5

Cho khối tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

$\Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)$

Tam giác $ABC$ đều

$\Rightarrow AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Tam giác $SAO$ vuông tại $O \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

$\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\end{array}$

Luyện tập 6

Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: $V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Diện tích đáy lớn là: $S = A{B^2} = {3^2} = 9$

Diện tích đáy bé là: $S' = {2^2} = 4$

Thể tích hình chóp cụt là:

$V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right) = \frac{1}{3}.4\left( {9 + \sqrt {9.4}  + 4} \right) = \frac{{76}}{3} \approx 25,3\left( {d{m^3}} \right)$