Giải mục 4 trang 47 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều — Không quảng cáo

HĐ 5

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 1 + \frac{1}{n}$. Khẳng định ${u_n} \le 2$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$ có đúng không?

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{u_n} \le 2 \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{n} \le 2\\ \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{n} - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{n + 1 - 2n}}{n} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - n + 1}}{n} \le 0\\Do\,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

Khẳng định trên là đúng

LT - VD 5

Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4}$ là bị chặn.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức về dãy số bị chặn để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4} < \frac{1}{2}.\frac{n^2+1}{n^2+2} < \frac{1}{2}.(1- \frac{1}{n^2+2}) < \frac{1}{2}$.

Ta lại có: $u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4} > 0$

Do đó $0 < u_n < \frac{1}{2}$.

Vì vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn.