Giải mục 4 trang 102, 103 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 cánh diều Bài 5. Khoảng cách Toán 11 Cánh Diều


Giải mục 4 trang 102, 103 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Trong Hình 67, thanh gỗ dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Hoạt động 3

Trong Hình 67 , thanh gỗ dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với nhau, chiều cao của chiếc cột có đỉnh cột \(A\) là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\).

a) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phụ thuộc vào vị trí của điểm \(A\) trên đường thẳng \(\Delta \) hay không? Vì sao?

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm nào trong hình học liên quan đến đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\)?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

a) Trên đường thẳng \(\Delta \) lấy điểm \(B\) khác \(A\).

Kẻ \(AH \bot \left( P \right),BK \bot \left( P \right)\left( {H,K \in \left( P \right)} \right)\)

\( \Rightarrow ABKH\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AH = BK\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( P \right)} \right) = d\left( {B,\left( P \right)} \right)\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(A\) trên đường thẳng \(\Delta \).

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Luyện tập 3

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = a\), góc giữa \(SA\) và \(mp\left( {ABC} \right)\) là \({60^ \circ }\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(SA\) và \(SB\). Chứng minh \(MN\parallel \left( {ABC} \right)\) và tính \(d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right)\).

Phương pháp giải:

‒ Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(SA\)

\(N\) là trung điểm của \(SB\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel AB\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right)\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(SH\), cắt \(\left( {ABC} \right)\) tại \(K\)

\( \Rightarrow K \in AH,MK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = MK\)

\(\begin{array}{l}SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,HA} \right) = \widehat {SAH} = {60^ \circ }\\ \Rightarrow SH = SA.\sin \widehat {SAH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

\(M\) là trung điểm của \(SA\), \(MK\parallel SH\)

\( \Rightarrow MK\) là đường trung bình của \(\Delta SAH\)

\( \Rightarrow MK = \frac{1}{2}AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \(d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)


Cùng chủ đề:

Giải mục 4 trang 47 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Giải mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Giải mục 4 trang 70, 71, 72 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Giải mục 4 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Giải mục 4 trang 91, 92, 93 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Giải mục 4 trang 102, 103 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Giải mục 5 trang 12 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Giải mục 5 trang 29, 30 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Giải mục 5 trang 38 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Giải mục 5 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Giải mục 5 trang 103, 104 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều