Giải mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Tính (lim left( { - {n^3}} right).)
HĐ 5
Quan sát dãy số (un) với u_n = n^2 và cho biết giá trị của n có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Phương pháp giải:
Xác định các giá trị của dãy số dựa vào công thức tính số hạng tổng quát.
Lời giải chi tiết:
Ta có bảng giá trị sau:
|
n |
1 |
2 |
3 |
... |
100 |
... |
1001 |
|
u_n |
1 |
4 |
9 |
... |
10 000 |
... |
1 002 001 |
Từ đó ta có các nhận xét sau:
+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì u_n > 1 .
+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì u_n > 10 000.
...
Vậy ta thấy u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
LT - VD 7
Tính \lim \left( { - {n^3}} \right).
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực.
- Dãy số \left( {{u_n}} \right) được gọi là có giới hạn + \infty khi n \to + \infty nếu {u_n} có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty hay {u_n} \to + \infty khi n \to + \infty .
- Dãy số \left( {{u_n}} \right) được gọi là có giới hạn - \infty khi n \to + \infty nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty , kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty hay {u_n} \to - \infty khi n \to + \infty .
Lời giải chi tiết:
Xét dãy \left( {{u_n}} \right) = {n^3}
Với M là số dương bất kì, ta thấy {u_n} > M \Leftrightarrow {n^3} > M \Leftrightarrow n > \sqrt[3]{M}.
Vậy với các số tự nhiên n > \sqrt[3]{M} thì {u_n} > M. Do đó, \lim {n^3} = + \infty \Rightarrow \lim \left( { - {n^3}} \right) = - \infty
LT - VD 8
Chứng tỏ rằng \lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = 0.
Phương pháp giải:
Sử dụng lý thuyết một số giới hạn cơ bản: \lim \frac{1}{n} = 0;\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0 với k là số nguyên dương cho trước.
Lời giải chi tiết:
\lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = \lim \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{1}{n} - \lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0