Giải mục 5 trang 103, 104 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Hoạt động 4

a) Trong Hình 70 , sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song $\left( P \right),\left( Q \right)$. Chiều cao của căn phòng là 3 m.

Chiều cao đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai mặt phẳng song song $\left( P \right),\left( Q \right)$?

b) Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với nhau. Xét điểm $I$ tuỳ ý trong mặt phẳng $\left( P \right)$, lấy $K$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( Q \right)$ ( Hình 71 ). Khoảng cách $IK$ từ điểm $I$ đến mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phụ thuộc vào vị trí của điểm $I$ trong mặt phẳng $\left( P \right)$ hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hai mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

b)

Trên mặt phẳng $\left( P \right)$ lấy điểm $J$ khác $I$.

Kẻ $JH \bot \left( Q \right)\left( {H \in \left( Q \right)} \right)$

$\Rightarrow HKIJ$ là hình chữ nhật $\Rightarrow IK = JH$

$\Rightarrow d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = d\left( {J,\left( Q \right)} \right)$

Vậy khoảng cách $IK$ từ điểm $I$ đến mặt phẳng $\left( Q \right)$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $I$ trong mặt phẳng $\left( P \right)$.

Luyện tập 4

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên bằng $a$, góc giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {A'B'C'} \right)$.

Phương pháp giải:

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( {ABC} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\\ \Rightarrow \left( {AA',\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AA',AH} \right) = \widehat {A'AH}\end{array}$

$\Delta AA'H$ vuông tại $H \Rightarrow A'H = AA'.\sin \widehat {A'AH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vì $\left( {ABC} \right)\parallel \left( {A'B'C'} \right)$ nên $d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$