Giải mục 4 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo Bài 3. Hàm số liên tục Toán 11 Chân trời sáng tạo


Giải mục 4 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \).

Hoạt động 4

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \).

Hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) có liên tục tại \(x = 2\) không? Giải thích.

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) tại \(x = 2\):

Bước 1: Kiểm tra  x = 2 có thuộc tập xác định không. Tính \(h\left( 2 \right)\).

Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right)\).

Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x} \). Ta có:

\(\begin{array}{l}h\left( 2 \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2}  = 1 + \sqrt 2 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x} \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x} } \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2}  = 1 + \sqrt 2 \end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = h\left( 2 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\).

Thực hành 4

Xét tính liên tục của các hàm số:

a) \(y = \sqrt {{x^2} + 1}  + 3 - x\);

b) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{x}.\cos x\).

Phương pháp giải:

Đưa hàm số thành tổng, hiệu, tích của hai hàm số rồi xét tính liên tục của hai hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) xác định trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y = 3 - x\) là đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1}  + 3 - x\) cũng liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = \cos x\) là hàm lượng giác nên liên tục trên \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số \(y = \cos x\) cũng liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{x}.\cos x\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Vận dụng 3

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(O\), bán kính bằng 1. Một đường thẳng \(d\) thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm \(M\) có hoành độ \(x\left( { - 1 < x < 1} \right)\) và cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại các điểm \(N\) và \(P\) (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức \(S\left( x \right)\) biểu thị diện tích của tam giác \(ONP\).

b) Hàm số \(y = S\left( x \right)\) có liên tục trên \(\left( { - 1;1} \right)\) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} S\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} S\left( x \right)\).

Phương pháp giải:

a) Viết hàm số biểu thị phương trình đường tròn \(\left( C \right)\), dựa vào dữ kiện của đề bài, tính \(OM,NP\) sau đó tính diện tích \(S\left( x \right)\) của tam giác \(ONP\).

b) Sử dụng tính chất liên tục của các hàm số sơ cấp.

c) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {1 - {x^2}} \).

Độ dài \(OM\) chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm \(M\). Vậy \(OM = \left| x \right|\).

Độ dài \(MN\) chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm \(N\). Vậy \(MN = \left| {\sqrt {1 - {x^2}} } \right| = \sqrt {1 - {x^2}} \).

\(S\left( x \right) = {S_{ONP}} = \frac{1}{2}.NP.OM = MN.OM = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right|\).

b) Xét hàm số  \(S\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{ - x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\, - 1 \le x < 0}\end{array}} \right.\).

ĐKXĐ: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1\)

Hàm số \(S\left( x \right)\) có tập xác định là \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) xác định trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Ta có: \(S\left( 0 \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} S\left( x \right) = 0 = S\left( 0 \right)\)

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 1.\sqrt {1 - {1^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 1.\sqrt {1 - {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 0\)


Cùng chủ đề:

Giải mục 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 4 trang 68 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 4 trang 69, 70, 71 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 4 trang 75, 76 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 4 trang 78, 79, 80, 81 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 4 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 4 trang 91, 92 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 4 trang 96, 97, 98 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 4 trang 116, 117 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 5 trang 11, 12 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 5 trang 38, 39 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo