Giải mục 6 trang 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

HĐ 8

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $(0 < b < a)$

Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình ${x^2} + {y^2} = {a^2}$

Cét điểm $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$ và ${M_1}\left( {x;{y_1}} \right) \in \left( C \right)$ sao cho $y$ và ${y_1}$ luôn cùng dấu (Khi M khác với hai đỉnh ${A_1},{A_2}$ của (E)) (Hình 10)

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính ${y^2}$ theo ${x^2}$

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính ${y_1}^2$ theo ${x^2}$

b) Tính tỉ số $\frac{{HM}}{{H{M_1}}} = \frac{y}{{{y_1}}}$ theo $a,b$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {y^2} = {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) = \frac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right){b^2}}}{{{a^2}}}$

Tương tự, ${M_1}\left( {x;{y_1}} \right) \in \left( C \right)$ nên ${x^2} + {y_1}^2 = {a^2} \Rightarrow {y_1}^2 = {a^2} - {x^2}$

b) Ta có: $\frac{{{y^2}}}{{{y_1}^2}} = \frac{{\frac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right){b^2}}}{{{a^2}}}}}{{{a^2} - {x^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$.

Vậy $\frac{{HM}}{{H{M_1}}} = \frac{y}{{{y_1}}} = \frac{b}{a}$, tức là ${y_1} = \frac{a}{b}y$