Giải mục 5 trang 45, 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

HĐ 7

Cho elip (E) $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $(0 < b < a)$

Xét đường thẳng ${\Delta _1}:x =  - \frac{a}{e}$ với mỗi điểm $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$ (Hình 9), tính:

a) Khoảng cách $d\left( {M,{\Delta _1}} \right)$ từ điểm $M\left( {x;y} \right)$ đến đường thẳng ${\Delta _1}$

b) Tỉ số $\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}}$

Lời giải chi tiết:

a) Viết lại phương trình đưởng thẳng ${\Delta _1}$ ở dạng: $x + 0y + \frac{a}{e} = 0$

Với mỗi điểm $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$, ta có: $d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {x + 0y + \frac{a}{e}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}$

b) Do $M{F_1} = a + ex > 0$ nên $M{F_1} = \left| {a + ex} \right| \Rightarrow d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{M{F_1}}}{e}$

Vậy $\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = e$

Luyện tập - vận dụng 4

Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm ${F_2}(5;0)$ và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là $x = \frac{{36}}{5}.$

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ Tiêu điểm ${F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - c;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}(5;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0$

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của elip là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $(0 < b < a)$

(E) có tiêu điểm ${F_2}(c;0) = (5;0) \Rightarrow c = 5$

Ứng với tiêu điểm ${F_2}(3;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x = \frac{a}{e} = \frac{{36}}{5}$

Mà $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{{{a^2}}}{5} = \frac{{36}}{5} \Leftrightarrow {a^2} = 36$ hay $a = 6$. Suy ra $b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = \sqrt {{6^2} - {5^2}}  = \sqrt {11}$

Vậy phương trình chính tắc của elip là: $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{11}} = 1$