Giải mục 3 trang 35, 36 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

HĐ 3

Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức ${(a + b)^4}$ (Hình 7a) và nhị thức ${(a + b)^5}$ (Hình 7b) sau:

a) So sánh từng cặp hệ số $C_4^0$ và $C_4^4$, $C_4^1$ và $C_4^3$ ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số $C_5^0$ và $C_5^5$, $C_5^1$ và $C_5^4$,$C_5^2$ và $C_5^3$ ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $C_4^0 = 1 = C_4^4;C_4^1 = 4 = C_4^3$

$C_5^0 = 1 = C_5^5;C_5^1 = 5 = C_5^4;C_5^2 = 10 = C_5^3$

b) Dãy $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$ tăng từ $C_4^0$ đến $C_4^2$ rồi giảm từ $C_4^2$ đến $C_4^4$

Dãy $C_5^0;C_5^1;C_5^2;C_5^3;C_5^4;C_5^5$ tăng từ $C_5^0$ đến $C_5^2$ , $C_5^2 = C_5^3$, rồi giảm từ $C_5^3$ đến $C_5^5$

Luyện tập 1

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của

a) ${(a + b)^{2022}}$

b) ${(a + b)^{2023}}$

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Hệ số thứ k của biểu thức là $C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}$

Hệ số lớn nhất trong khai triển là hệ số lớn hơn hệ số đứng sau và đứng trước nó

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $C_{2022}^0 < C_{2022}^1 < C_{2022}^2 < ... < C_{2022}^{1011}$ và $C_{2022}^{1011} > C_{2022}^{1012} > C_{2022}^{1012} > ... > C_{2022}^{2022}$

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển ${(a + b)^{2022}}$ là $C_{2022}^{1011}$

a) Ta có $C_{2023}^0 < C_{2023}^1 < C_{2023}^2 < ... < C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}$ và $C_{2023}^{1012} > C_{2023}^{1013} > C_{2023}^{1014} > ... > C_{2023}^{2023}$

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển ${(a + b)^{2023}}$ là $C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}$

Luyện tập 2

Xét khai triển của ${(x + 5)^{15}}$

a) Nêu số hạng chứa ${x^7}$ từ đó nêu hệ số của ${x^7}$

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ${a_k}$ của ${x^k}$ với $0 \le k \le 15$

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: ${(ax + b)^n} = C_n^0{(ax)^n} + C_n^1{(ax)^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}(ax){b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Hệ số của ${x^k}$ trong khai triển trên là $C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${(x + 5)^{15}} = {C_1}^0{x^{15}} + {C_1}^1{x^{14}}5 + ... + {C_1}^{14}x{.5^{14}} + {C_1}^{15}{5^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{15 - k}}{5^k}}$

a) Số hạng chứa ${x^7}$, tức là $15 - k = 7$ hay $k = 8$ là $C_{15}^8.{x^7}{.5^8}$. Hệ số của ${x^7}$ là $C_{15}^8{.5^8}$

b) Số hạng chứa ${x^{15}}$ là $C_{15}^0{x^{15}} = {x^{15}}$. Hệ số của ${x^{15}}$ là $1$.

Số hạng tự do là: $C_{15}^{15}{5^{15}} = {5^{15}}$

Số hạng chứa ${x^k}(1 \le k \le 14)$ là $C_{15}^{15 - k}{x^k}{5^{15 - k}} = C_{15}^{15 - k}{5^{15 - k}}{x^k}$. Hệ số của ${x^k}$ là $C_{15}^{15 - k}{5^{15 - k}}$