Giải mục 5 trang 53, 54 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

HĐ 7

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ trong đó $a > 0,b > 0$.

Xét đường thẳng ${\Delta _1}:x =  - \frac{a}{e}$ với mỗi điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)$ (Hình 17), tính:

a) Khoảng cách $d\left( {M,{\Delta _1}} \right)$ từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng ${\Delta _1}$

b) Tỉ số $\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}}$

Lời giải chi tiết:

a) Viết lại phương trình đưởng thẳng ${\Delta _1}$ ở dạng: $x + 0y + \frac{a}{e} = 0$

Với mỗi điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)$, ta có: $d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {x + 0y + \frac{a}{e}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}$

b) Ta có: $M{F_1} = \left| {a + ex} \right| \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e$

Vậy $\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = e$

Luyện tập - vận dụng 4

Viết phương trình chình tắc của đườn hypebol biết một tiêu điểm là ${F_2}(\sqrt 2 ;0)$ và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là: $x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ trong đó $a > 0,b > 0$. Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm ${F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - c;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}(c;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0$

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ ($a > 0,b > 0$).

+ Tiêu điểm ${F_2}(c;0) = (\sqrt 2 ;0) \Rightarrow c = \sqrt 2$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}(c;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x = \frac{a}{e}$ hay $\frac{a}{e} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Mà $e = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow a = 1.$ Suy ra $b = \sqrt {{c^2} - {a^2}}  = 1$

Vậy PTCT của hypebol là ${x^2} - {y^2} = 1$