Sự biến thiên của hàm số
Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu ∀x1,x2∈(a;b),x1<x2⇒f(x1)<f(x2) Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu ∀x1,x2∈(a;b),x1<x2⇒f(x1)>f(x2)
1. Lý thuyết
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b).
+ Định nghĩa:
Hàm số y=f(x) đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) nếu
∀x1,x2∈(a;b),x1<x2⇒f(x1)<f(x2)
Hàm số y=f(x) nghịch biến ( giảm ) trên khoảng (a;b) nếu
∀x1,x2∈(a;b),x1<x2⇒f(x1)>f(x2)
Xét sự biến thiên của hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.
+ Mô tả sự biến thiên bằng bảng biến thiên
Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong một bảng biến thiên . Trong đó:
Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.
Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.
+ Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị
Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “ đi lên ” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “ đi xuống ” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
+ Hàm số bậc nhất y=ax+b đồng biến trên R nếu a>0, nghịch biến trên R nếu a<0.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Chứng minh hàm số y=2x2đồng biến trên khoảng (0;+∞)
Xét hai số bất kì x1,x2∈(0;+∞) sao cho x1<x2.
Ta có: 0<x1<x2 nên 2x12<2x22 hay f(x1)<f(x2)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)
Ví dụ 2. Cho bảng biến thiên của hàm số y=2x2+1
- Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0)
- Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)
Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số y=f(x)
Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (2;5)
Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (-4;2)