Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Cánh Diều
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\)và hàm số \(f(x)\) xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\)
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\), khi \({x_n} \to {x_0}\).
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\)\(\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)\)thì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\)
b, Nếu \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \).
3. Giới hạn một phía
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Số L là giới hạn bên của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).
*Nhận xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\)
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to + \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to + \infty \).
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;b} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to - \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} < b\) và \({x_n} \to - \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to - \infty \).
* Nhận xét:
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\),\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0\).
III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {a^ + }\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to a\)ta có \(f({x_n}) \to + \infty \).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \)hay \(f(x) \to + \infty \) khi \(x \to {a^ + }\)
- Các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \) được định nghĩa tương tự.
IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên trái nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \) ta có \(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \) hay \(f(x) \to + \infty \) khi \(x \to + \infty \).
- Các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \) được định nghĩa tương tự.
* Chú ý:
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty ,k \in {\mathbb{Z}^ + }.\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty ,\) k là số nguyên dương chẵn.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty ,\) k là số nguyên dương lẻ.
-
