Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác - SGK Toán 11 Cánh Diều

I. Góc lượng giác

I. Góc lượng giác

1. Góc hình học và số đo của chúng

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: ${180^o} = \pi$ rad, do đó 1 rad $= {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^o}$ , ${1^o} = \left( {\frac{\pi }{{180}}} \right)$ rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: $\frac{\pi }{2}$ rad cũng được viết là $\frac{\pi }{2}$ .

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau $\left( {Ou \equiv O'u'} \right)$ , tia cuối trùng nhau $\left( {Ov \equiv O'v'} \right)$ .

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

$\left( {Ou,Ov} \right) = \left( {O'u',O'v'} \right) + k{360^o},k \in \mathbb{Z}.$

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

$\left( {Ou,Ov} \right) = \left( {O'u',O'v'} \right) + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) $+ k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

$x =$ cos $\alpha$ , $y =$ sin $\alpha$ .

tan $\alpha$ $= \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{y}{x}\left( {x \ne 0} \right)$

$\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{x}{y}\left( {y \ne 0} \right)$

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc $\alpha$

* Các công thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\\1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\left( {\alpha \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\left( {\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Hai góc đối nhau $\alpha$ và $- \alpha$

$\begin{array}{l}\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha \\\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( { - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( { - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array}$

Hai góc bù nhau ( $\alpha$ và $\pi$ - $\alpha$ )

$\begin{array}{l}\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array}$

Hai góc phụ nhau ( $\alpha$ và $\frac{\pi }{2}$ - $\alpha$ )

$\begin{array}{l}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = c{\rm{os}}\alpha \\\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \end{array}$

Hai góc hơn kém $\pi$ ( $\alpha$ và $\pi$ + $\alpha$ )

$\begin{array}{l}\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = - \sin \alpha \\\cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {\pi + \alpha } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\pi + \alpha } \right) = \cot \alpha \end{array}$