Lý thuyết Vecto và các phép toán vecto trong không gian Toán 12 Cánh Diều — Không quảng cáo

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng

- Các khái niệm có liên quan đến vecto trong không gian như: giá của vecto, độ dài của vecto, vecto cùang phương, vecto cùng hướng, vecto-không, hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng

Trong không gian, cho hai vecto $\mathop a\limits^ \to$ và $\mathop b\limits^ \to$. Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b$. Khi đó, vecto $\overrightarrow {AC}$ được gọi là tổng của hai vecto $\mathop a\limits^ \to$ và $\mathop b\limits^ \to$, kí hiệu là $\overrightarrow a  + \overrightarrow b$

- Với 3 điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (Quy tắc 3 điểm)

- Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$ (Quy tắc hình bình hành)

- Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'}$(Quy tắc hình hộp)

Trong không gian, cho hai vecto $\mathop a\limits^ \to$ và $\mathop b\limits^ \to$.  Hiệu của hai vecto $\mathop a\limits^ \to$ và $\mathop b\limits^ \to$ là tổng của hai vecto $\mathop a\limits^ \to$ và vecto đối của $\mathop b\limits^ \to$, kí hiệu là $\mathop a\limits^ \to   - \mathop b\limits^ \to$

Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: $\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA}$ (Quy tắc hiệu)

Trong không gian, tích của một số thực $k \ne 0$ với một vecto $\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0$ là một vecto, kí hiệu là $k\overrightarrow a$, được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto $\mathop a\limits^ \to$ nếu k > 0; ngược hướng với vecto $\mathop a\limits^ \to$ nếu k < 0

- Có độ dài bằng $\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|$

Trong không gian, cho hai vecto $\mathop a\limits^ \to$ và $\mathop b\limits^ \to$ khác $\mathop 0\limits^ \to$. Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b$. Khi đó, góc $\widehat {AOB}({0^ \circ } \le \widehat {AOB} \le {180^ \circ })$ được gọi là góc giữa hai vecto $\mathop a\limits^ \to$ và $\mathop b\limits^ \to$, kí hiệu $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Trong không gian, cho hai vecto $\mathop a\limits^ \to$ và $\mathop b\limits^ \to$ khác $\mathop 0\limits^ \to$. Tích vô hướng của hai vecto $\mathop a\limits^ \to$ và $\mathop b\limits^ \to$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b$, được xác định bởi công thức

$\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$