Bài 15 trang 133 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Hai phương trình ${x^2} + ax + 1 = 0$ và ${x^2} - {\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ có một nghiệm thực chung khi $a$ bằng:

(A) 0 ;     (B) 1 ;     (C) 2 ;     (D) 3

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải chi tiết

Giả sử $x_0$ là nghiệm chung của hai phương trình, thì $x_0$ phải thỏa mãn:

$\left\{ \matrix{x_0^2 + a{x_0} + 1 = 0 \, \, (1) \hfill \cr x_0^2 - {x_0} - a = 0 \, \, (2) \hfill \cr} \right.$

Trừ vế với về của (1) cho (2), ta được:

$ax_0+x_0+1+a=0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right){x_0} + 1 + a = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a + 1 = 0\\ {x_0} + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 1\\ {x_0} = - 1 \end{array} \right.. \end{array}$

+) Thay $a = -1$ vào (2), ta được: $x_0^2 - {x_0} + 1 = 0$

Ta có $\Delta=-3<0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy loại trường hợp $a = -1.$

+) Thay $x_0 = -1$ vào (2), ta có $1+1-a=0 \Leftrightarrow a=2.$

Vậy hai phương trình đã cho có nghiệm chung $x_0 = -1$ khi $a=2.$

Chọn đáp án C.