Bài 15 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Một hình vuông ${C_1}$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thàng bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông ${C_2}$ (Hình 4) . Từ hình vuông ${C_2}$ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông ${C_3}$ . Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông ${C_1},{C_2},{C_3},..,{C_n},...$ . Gọi ${a_n}$ là độ dài cạnh hình vuông ${C_n}$ . Chứng minh rằng dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Ta có độ dài cạnh các hình vuông ${C_1},{C_2},{C_3},{C_4},...\;$ là ${a_1} = 4;{a_2} = \sqrt {10} ;{a_3} = \frac{5}{2};{a_4} = \frac{{5\sqrt {10} }}{8};...$

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: ${a_n} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}{a_{n - 1}}$.

Vậy $\frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4} = q$

Vậy (a _n ) là một cấp số nhân với số hạng đầu ${a_1} = 4$ và công bội $q = \frac{{\sqrt {10} }}{4}$