Bài 16 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Lời giải chi tiết

Gọi $u_n$­ là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1%.

Ta có:

$u_1$ = 1 000 000 000 đồng.

$u_2 = u_1 + u_1.1\% - a = u_1(1 + 1\%) – a$ (đồng)

$u_3 = u_1(1 + 1\%) – a + [u_1(1 + 1\%) – a].1\% – a = u_1(1 + 1\%)^2 – a(1 + 1\%) – a$

...

$u_n = u_1(1 + 1\%)^{n-1} – a(1 + 1\%)^{n-2} – a(1 + 1\%)^{n-3} – a(1 + 1\%)^{n-4} – ... – a$.

Ta thấy dãy $a(1 + 1\%)^{n-2}; a(1 + 1\%){n-3}; a(1 + 1\%)^{n-4}; ...; a$ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a1 = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:

$S_{n−2}=\frac{a(1−(99\%)^{n−2})}{1-99\%} =100a[1 – (99\%)^{n-2}]$.

Suy ra $u_n = u_1(1 + 1\%)^{n-1} – 100a[1 – (99\%)^{n-2}]$.

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và $u_{24}$ = 0. Do đó ta có:

$u_{24} = u_1(1 + 1\%)^{23} – 100a[1 – (99\%)^{22}] = 0$

⇔ $1 000 000 000.(99\%)^{23} – 100a[1 – (99\%)^{22}] = 0$

⇔ a = 40 006 888,25

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.