Bài 25 trang 111 SGK Toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn tâm $O$ có bán kính $OA=R$, dây $BC$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm $M$ của $OA$.

a) Từ giác $OCAB$ là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại $B$, nó cắt đường thẳng $OA$ tại $E$. Tính độ dài $BE$ theo $R$.

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O) có OA là 1 phần đường kính và BC là dây của đường tròn mà $OA\perp BC\Rightarrow MB=MC$ (Theo định lý 2 - trang 103).

Mà $M$ là trung điểm của OA.

$\Rightarrow$ Tứ giác $ABOC$ là hình bình hành ( tứ giác có 2 đường chéo OA và BC cắt nhau tại trung điểm M mỗi đường)

Mặt khác, $BC \bot AO$

Do đó $ABOC$ là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc).

b) Ta có $ABOC$ là hình thoi nên $BA=BO$ (tính chất)

Mà $BO=OA=R$

$\Rightarrow$ $OB=OA=BA$. Do đó tam giác $ABO$ đều (Dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow \widehat{BOA}=60^{\circ}$ (Tính chất tam giác đều)

Ta có $EB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ $\Rightarrow EB\perp OB$ hay $\widehat{EBO}=90^o$.

Xét tam giác $BOE$ vuông tại $B$, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$BE=BO. \tan 60^{\circ}= R. \tan 60^0=R\sqrt{3}.$