Bài 25 trang 119 SGK Toán 9 tập 2
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy a,b (a
Đề bài
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy \(a,b\) (\(a<b\)) và độ dài đường sinh là \(l\) (\(a,b,l\) có cùng đơn vị đo).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Diện tích xung quanh hình nón: \(S_{xq}=\pi r l.\) với \(r\) là bán kính đáy và \(l\) là đường sinh.
+) \(S_{xq \, \, nón \, \, cụt} = S_{xq \, \, hình \, \, nón \, \, lớn } - S_{xq \, \, hình \, \, nón \, \, nhỏ}.\)
Lời giải chi tiết
Kí hiệu như hình vẽ. \(SA=l_1;AB=l;OB=b;O'A=a.\)
Vì \(O'A//OB \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SB}} = \dfrac{{O'A}}{{OB}}\)(Hệ quả định lí Talet)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{l_1}}}{{l + {l_1}}} = \dfrac{a}{b} \Leftrightarrow b{l_1} = al + a{l_1} \Leftrightarrow {l_1}\left( {b - a} \right) = al \Leftrightarrow {l_1} = \dfrac{a}{{b - a}}l\)
Suy ra \(SB = l + {l_1} = l + \dfrac{a}{{b - a}}l = \dfrac{b}{{b - a}}l\)
Diện tích xung quanh hình nón lớn là \({S_1} = \pi .b.SB = \pi .b.\dfrac{b}{{b - a}}l = \dfrac{{{b^2}}}{{b - a}}\pi l\)
Diện tích xung quanh hình nón nhỏ là \({S_2} = \pi .a.SA = \pi .a.\dfrac{a}{{b - a}}l = \dfrac{{{a^2}}}{{b - a}}\pi l\)
Diện tích xung quanh hình nón cụt là \(S = {S_1} - {S_2} = \dfrac{{{b^2}}}{{b - a}}\pi l - \dfrac{{{a^2}}}{{b - a}}\pi l = \pi l.\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{b - a}} = \left( {a + b} \right)\pi l\)
Vậy diện tích xung quanh nón cụt là \(S = \pi \left( {a + b} \right)l\)