Bài 26 trang 16 SGK Toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

a) So sánh $\sqrt{25 + 9}$ và $\sqrt{25} + \sqrt{9}$;

b) Với $a > 0$ và $b > 0$, chứng minh $\sqrt{a + b} < \sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$+)  \sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}$.

$+)  \sqrt{25} + \sqrt{9}=\sqrt{5^2}+\sqrt{3^2}=5+3$

$=8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}$.

Vì $34<64$ nên $\sqrt{34}<\sqrt{64}$

Vậy $\sqrt{25 + 9}<\sqrt{25} + \sqrt{9}$

b) Với $a>0,b>0$, ta có

$+)\, (\sqrt{a + b})^{2} = a + b$.

$+) \,(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}= (\sqrt{a})^2+ 2\sqrt a .\sqrt b +(\sqrt{b})^2$

$= a +2\sqrt{ab}  + b$

$=(a+b) +2\sqrt{ab}$.

Vì $a > 0,\ b > 0$ nên $\sqrt{ab} > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{ab} >0$

$\Leftrightarrow (a+b) +2\sqrt{ab} > a+b$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{ b})^2 > (\sqrt{a+b})^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$ (đpcm)