Bài 3.18 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Tìm các giới hạn
Đề bài
Tìm các giới hạn
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2}} }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, c Đây là giới hạn một bên của hàm số
Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của một thương
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \), với mọi số thực \(a\).
b, Đây là giới hạn một bên của hàm số
Dạng vô định \(\frac{0}{0}\) nên ta phải thực hiện khử dạng vô định
Lời giải chi tiết
a,
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 2.2 + 1 = 5 > 0\)
Với \(x > 2\) thì \(x - 2 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = + \infty \)
b,
Với \(x < 1\) thì \(\left| {x - 1} \right| = - \left( {x - 1} \right)\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\)
c,
Với \(x < 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = - x\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{ - x}}\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 1 > 0\)
Với \(x < 0\) thì \( - x > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0\) dó đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{ - x}} = + \infty \)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2}} }} = + \infty \)