Bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm x0:
Đề bài
Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm x0:
a) f(x)={x2−3x+2x2−1khix>1−x2khix≤1 tại x0=1
b) f(x)={4−x2x−2khix<2−3khix=21−2xkhix>2 tại x0=2
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số liên tục tại x=x0 nếu lim hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)
Khử dạng vô định \frac{0}{0} bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định D = \mathbb{R}
+ Với {x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 1}} = - \frac{1}{2}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} - \frac{x}{2} = - \frac{1}{2}
Suy ra, \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) cùng bằng - \frac{1}{2}. Do đó hàm số liên tục tại {x_0} = 1
b) Tập xác định D = \mathbb{R}
+ Với {x_0} = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 3
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - 2x} \right) = 1 - 2.2 = - 3
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} - \left( {x + 2} \right) = - 4
Ta có \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) vì - 3 \ne 4 do đó hàm số y = f\left( x \right) không liên tục tại {x_0} = 2