Bài 3. 20 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.20 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.$ . Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ khi

Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.$ . Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ khi

A. $a = 1$

B. $a = 2$

C. $a = 3$

D. $a = - 1$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số liên tục tại $x = {x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Khử dạng vô định $\frac{0}{0}$ bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải chi tiết

Tập xác định $D = \mathbb{R}$

+ Với ${x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1 + 1 + 1 = 3$

Để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3 = a$

Đáp án C