Bài 3 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có $AB \bot (BCD)$, các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD (Hình 31). Chứng minh rằng:

a)     $CD \bot (ABH)$

b)    $CD \bot (ABK)$

c)     Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm

Lời giải chi tiết

a)     Vì $AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)$

Có H là trực tâm của tam giác BCD $\Rightarrow BH \bot CD\left( 2 \right)$

Tử (1) và (2) $\Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right)$

b)    Vì $AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)$

Có K là trực tâm của tam giác BCD $\Rightarrow AK \bot CD\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow CD \bot \left( {ABK} \right)$

c)     Ta có: $CD \bot \left( {ABH} \right)$ và $CD \bot \left( {ABK} \right)$. Mà theo tính chất 1, chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua A và B vuông góc với CD. Nên $\left( {ABH} \right) \equiv \left( {ABK} \right)$.

Ta có H là trực tâm của tam giác BCD nên BH giao với CD tại 1 điểm I, K là trực tâm của tam giác ACD nên AK giao với CD tại 1 điểm I'.

Mà (ABHK) cắt CD tại 1 điểm thuộc CD.

Nên I và I' trùng nhau hay AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.