Bài 3 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 cánh diều Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Toán 11 Cánh


Bài 3 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều

Cho tứ diện ABCD có (AB bot (BCD)), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn.

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot (BCD)\), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD (Hình 31). Chứng minh rằng:

a)     \(CD \bot (ABH)\)

b)    \(CD \bot (ABK)\)

c)     Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh

Lời giải chi tiết

a)     Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)\)

Có H là trực tâm của tam giác BCD \( \Rightarrow BH \bot CD\left( 2 \right)\)

Tử (1) và (2) \( \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right)\)

b)    Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)\)

Có K là trực tâm của tam giác BCD \( \Rightarrow AK \bot CD\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow CD \bot \left( {ABK} \right)\)

c)     Ta có: \( CD \bot \left( {ABH} \right)\) và \(CD \bot \left( {ABK} \right)\). Mà theo tính chất 1, chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua A và B vuông góc với CD. Nên \(\left( {ABH} \right) \equiv \left( {ABK} \right)\).

Ta có H là trực tâm của tam giác BCD nên BH giao với CD tại 1 điểm I, K là trực tâm của tam giác ACD nên AK giao với CD tại 1 điểm I'.

Mà (ABHK) cắt CD tại 1 điểm thuộc CD.

Nên I và I' trùng nhau hay AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.


Cùng chủ đề:

Bài 3 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 3 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 3 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 3 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều
Bài 3 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 3 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh diều
Bài 3 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 3 trang 100 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 3 trang 104 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều