Bài 36 trang 82 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $AB$, $AC$. Gọi $M, N$ lần lượt là điểm chính giữa của cung $AB$ và cung $AC$. Đường thẳng $MN$ cắt dây $AB$ tại $E$ và cắt dây $AC$ tại $H$. Chứng minh rằng tam giác $AEH$ là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn (O):

Vì  $\widehat {AHM}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn các cung $AM$ và cung $NC$ nên $\widehat {AHM}$= $\dfrac{sđ\overparen{AM}+sđ\overparen{NC}}{2}\,\,\, (1)$

Vì $\widehat {AEN}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn các cung $AN$ và cung $MB$ nên $\widehat {AEN}$= $\dfrac{sđ\overparen{MB}+sđ\overparen{AN}}{2}\,\,\,  (2)$

Ta có:

$\overparen{AM}=\overparen{MB}   (3)$ ($M$ là điểm chính giữa cung $AB$).

$\overparen{NC}=\overparen{AN}    (4)$  $N$ là điểm chính giữa cung $AC$).

Từ (1),(2), (3), (4), suy ra $\widehat {AHM}= \widehat {AEN}$. Do đó $∆AEH$ cân tại A