Bài 39 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a2 và 6a.
Đề bài
Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB > AD\), diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là \(2a^2\) và \(6a\). Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh \(AB\), ta được một hình trụ.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Quay hình chữ nhật quanh một cạnh cố định của nó ta được một hình trụ.
+) Chu vi hình chữ nhật có kích thước \(a, \, b\) là: \(C=2(a+b).\)
+) Diện tích hình chữ nhật có kích thước \(a, \, b\) là: \(S=ab.\)
+) Diện tích xung quanh của hình trụ: \(S_{xq}=2\pi rh.\)
+) Thể tích hình trụ là: \(V=\pi r^2h.\)
Lời giải chi tiết
Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là: \(AB.AD = 2a^2\)
Chu vi hình chữ nhật là: \(2(AB + CD) = 6a ⇒ AB + CD = 3a\)
Độ dài AB, CD có tổng là 3a, tích là \(2.a^2\) nên độ dài \(AB\) và \(CD\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2}-{\rm{ }}3ax{\rm{ }}+{\rm{ }}2{a^2} = {\rm{ }}0\)
\(\begin{array}{l} {x^2} - ax - 2ax + 2{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - a} \right) - 2a\left( {x - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x - 2a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a\\ x = 2a \end{array} \right. \end{array}\)
Vì \(AB > AD\) nên ta chọn \(AB = 2a; AD = a\)
Khi quay hình chữ nhật quanh \(AB\) ta được hình trụ có \(h=AB=2a\) và \(r=AD=a.\)
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:
\({S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .a.2a = 4{\rm{ }}\pi {a^2}\)
Thể tích hình trụ là:
\(V{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}A{D^2}.{\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{a^2}.{\rm{ }}2a{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {a^3}\)