Bài 39 trang 129 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Một hình chữ nhật $ABCD$ có $AB > AD$, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là $2a^2$ và $6a$. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh $AB$, ta được một hình trụ.

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này .

Lời giải chi tiết

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: $AB.AD = 2a^2$

Chu vi hình chữ nhật  là: $2(AB + CD) = 6a ⇒ AB + CD = 3a$

Độ dài AB, CD có tổng là 3a, tích là $2.a^2$ nên độ dài $AB$ và $CD$ là nghiệm của phương trình:

${x^2}-{\rm{ }}3ax{\rm{ }}+{\rm{ }}2{a^2} = {\rm{ }}0$

$\begin{array}{l} {x^2} - ax - 2ax + 2{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - a} \right) - 2a\left( {x - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x - 2a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a\\ x = 2a \end{array} \right. \end{array}$

Vì $AB > AD$ nên ta chọn $AB = 2a; AD = a$

Khi quay hình chữ nhật quanh $AB$ ta được hình trụ có $h=AB=2a$ và $r=AD=a.$

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:

${S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .a.2a = 4{\rm{ }}\pi {a^2}$

Thể tích hình trụ là:

$V{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}A{D^2}.{\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{a^2}.{\rm{ }}2a{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {a^3}$