Bài 39 trang 83 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho $AB$ và $CD$ là hai đường kính vuông góc của đường tròn $(O)$. Trên cung nhỏ $BD$ lấy một điểm $M$. Tiếp tuyến tại $M$ cắt tia $AB$ ở $E$, đoạn thẳng $CM$ cắt $AB$ ở $S$. Chứng minh $ES = EM$.

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB \bot CD$ nên $\widehat{AOC}=\widehat{BOC}=90^0$ nên $\overparen{CA}=\overparen{CB}.$(1)

+) Ta có $\widehat{MSE}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung $AC$ và cung $BM.$

$\Rightarrow \widehat{MSE} = \dfrac{sđ\overparen{CA}+sđ\overparen{BM}}{2}$   (2)

+) $\widehat{CME}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $CM$

$\Rightarrow \widehat{CME}= \dfrac{sđ\overparen{CM}}{2}= \dfrac{sđ\overparen{CB}+sđ\overparen{BM}}{2}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{MSE} = \widehat{CME}$ nên $∆ESM$  cân tại $E$ và $ES = EM$ (đpcm).