Bài 40 trang 57 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

LG a

$3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Phương pháp giải:

Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x$, ta có phương trình $3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của $t$. Thay mỗi giá trị của $t$ vừa tìm được vào đằng thức $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x$ , ta được một phương trình của ẩn $x$. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của $x$.

Lời giải chi tiết:

Đặt ${x^2} + x = t$ ta được phương trình $3{t^2} - 2t - 1 = 0$

Phương trình này có $a + b + c = 3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = 0$ nên có hai nghiệm $t = 1;t =  - \dfrac{1}{3}$

+ Với ${t_1} = 1$ ta có ${x^2} + x = 1$ hay ${x^2} + x - 1 = 0$ có $\Delta  = {1^2} + 4.1.1 = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}$

+ Với $t =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow {x^2} + x =  - \dfrac{1}{3}$$\Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + 1 = 0$ có $\Delta  = {3^2} - 4.3.1 =  - 3 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.$

LG b

${({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Phương pháp giải:

Đặt ${x^2} - 4x + 2 = t$

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x + 2 - 6 = 0\end{array}$

Đặt $t = {x^2} - 4x + 2$ ta được phương trình ${t^2} + t - 6 = 0$ có $\Delta  = {1^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 25 > 0$$\Rightarrow \sqrt \Delta   = 5$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 1 + 5}}{2} = 2\\t = \dfrac{{ - 1 - 5}}{2} =  - 3\end{array} \right.$

+ Với $t = 2 \Rightarrow {x^2} - 4x + 2 = 2$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0$$\Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.$

+ Với $t =  - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 =  - 3$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 0$ có $\Delta  = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.5 =  - 4 < 0$ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 0;x = 4.$

LG c

$x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7$

Phương pháp giải:

Đặt $\sqrt x  = t\left( {t \ge 0} \right)$

Lời giải chi tiết:

$x - \sqrt x  = 5\sqrt x  + 7$$\Leftrightarrow x - 6\sqrt x  - 7 = 0$

ĐK: $x \ge 0$

Đặt $\sqrt x  = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 6t - 7 = 0$ có $a - b + c = 1 - \left( { - 6} \right) + \left( { - 7} \right) = 0$  nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}t =  - 1\left( L \right)\\t = 7\left( N \right)\end{array} \right.$

Với $t = 7 \Rightarrow \sqrt x  = 7 \Leftrightarrow x = 49\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 49.$

LG d

$\dfrac{x}{x+ 1} – 10 . \dfrac{x+1}{x}= 3$

Phương pháp giải:

Đặt $\dfrac{x+1}{x} = t$ hoặc $\dfrac{x}{x+ 1} = t$

Lời giải chi tiết:

ĐK:$x \ne \left\{ { - 1;0} \right\}$

Đặt $\dfrac{x}{{x + 1}} = t \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{x} = \dfrac{1}{t}$ , ta có phương trình $t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0$

Phương trình trên có $\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 49 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 7$  nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{3 + 7}}{2} = 5\\t = \dfrac{{3 - 7}}{2} =  - 2\end{array} \right.$

+ Với $t = 5 \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} = 5 \\\Rightarrow 5x + 5 = x \Leftrightarrow x =  - \dfrac{5}{4}\left( {TM} \right)$

+ Với $t =  - 2 \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} =  - 2\\ \Rightarrow x =  - 2x - 2 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x =  - \dfrac{5}{4};x =  - \dfrac{2}{3}.$