Bài 5 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Một cái lều có dạng hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên $AA'$vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết $AB = AC = 2,4m;BC = 2{\rm{ }}m;AA' = 3m$.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$; $A'B'$ và $AC$.

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác $ABB'$ trên mặt phẳng $\left( {BB'C'C} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC \Rightarrow \left( {AA',BC} \right) = {90^ \circ }$

$A'B'\parallel AB \Rightarrow \left( {A'B',AC} \right) = \left( {AB,AC} \right) = \widehat {BAC}$

Xét tam giác $ABC$ có:

$\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{47}}{{72}} \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {49^ \circ }15'$

Vậy $\left( {A'B',AC} \right) \approx {49^ \circ }15'$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$

Tam giác $ABC$ cân tại $A \Rightarrow AI \bot BC$

$\left. \begin{array}{l}AA' \bot \left( {ABC} \right)\\BB'\parallel AA'\end{array} \right\} \Rightarrow BB' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BB' \bot AI$

$\Rightarrow AI \bot \left( {BB'C'C} \right)$

$\Rightarrow I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $\left( {BB'C'C} \right)$

Có $B,B' \in \left( {BB'C'C} \right)$

Vậy $\Delta IBB'$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta ABB'$ trên mặt phẳng $\left( {BB'C'C} \right)$

Ta có: $BB' = AA' = 3,BI = \frac{1}{2}BC = 1 \Rightarrow {S_{\Delta IBB'}} = \frac{1}{2}BB'.BI = 1,5\left( {{m^2}} \right)$