Bài 5 trang 74 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng $2a$, cạnh đáy nhỏ và đường nối tâm hai đáy bằng $a$. Tính độ dài cạnh bên và đường cao của mỗi mặt bên.

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là tâm của hai đáy.

Kẻ $B'H \bot B{\rm{D}}\left( {H \in B{\rm{D}}} \right),B'K \bot BC\left( {K \in BC} \right)$

$\begin{array}{l}B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}}  = 2a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = a\sqrt 2 \\B'D' = \sqrt {A'B{'^2} + A'{\rm{D}}{{\rm{'}}^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow B'O' = \frac{1}{2}B'{\rm{D'}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}$

$OO'B'H$ là hình chữ nhật $\Rightarrow OH = B'O' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},B'H = OO' = a$

$\Rightarrow BH = BO - OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Tam giác $BB'H$ vuông tại $H$ có: $BB' = \sqrt {B'{H^2} + B{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

$BCC'B'$ là hình thang cân $\Rightarrow BK = \frac{{BC - B'C'}}{2} = \frac{a}{2}$

Tam giác $BB'K$ vuông tại $K$ có: $B'K = \sqrt {BB{'^2} - B{K^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$