Bài 5 trang 70 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông ${H_0}$ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông ${H_0}$ thành chính hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình ${H_1}$ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của ${H_1}$ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình ${H_2}$ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình ${H_n}\left( {n = 1,2,3,...} \right)$.

Ta có:   ${H_1}$ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$;

${H_2}$ có $5.5 = {5^2}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{{3^2}}}$;…

Từ đó, nhận được hình ${H_n}$ có ${5^n}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{{{3^n}}}$.

a) Tính diện tích ${S_n}$ của ${H_n}$ và tính $\lim {S_n}$.

b) Tính chu vi ${p_n}$ của ${H_n}$ và tính $\lim {p_n}$.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích $\lim {S_n}$ và chu vi $\lim {p_n}$ ).

Lời giải chi tiết

a) ${S_n} = {5^n}.{\left( {\frac{1}{{{3^n}}}} \right)^2} = {5^n}.\frac{1}{{{9^n}}} = {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n},n = 1,2,3,...$

$\lim {S_n} = \lim {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n} = 0$

b) ${p_n} = {5^n}.4.\frac{1}{{{3^n}}} = 4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n},n = 1,2,3,...$

$\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right)$

Vì $\lim \frac{1}{{4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}}} = \frac{1}{4}.\lim {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} = 0$ và $4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n} > 0$ với mọi $n$ nên $\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right) =  + \infty$.