Bài 5 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá $C\left( x \right)$ (đồng) khi thời gian đậu xe là $x$ (giờ) như sau:

$C\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{60000}&{khi\,\,0 < x \le 2}\\{100000}&{khi{\rm{ }}2 < x \le 4}\\{200000}&{khi{\rm{ }}4 < x \le 24}\end{array}} \right.$

Xét tính liên tục của hàm số $C\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết

Hàm số $C\left( x \right)$ có tập xác định là nửa khoảng $\left( {0;24} \right]$.

Hàm số $C\left( x \right)$ xác định trên từng khoảng $\left( {0;2} \right),\left( {2;4} \right)$ và $\left( {4;24} \right)$ nên hàm số liên tục trên các khoảng đó.

Ta có: $C\left( 2 \right) = 60000$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 100000 = 100000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 60000 = 60000\end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} C\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} C\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} C\left( x \right)$.

Vậy hàm số $C\left( x \right)$ không liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

Ta có: $C\left( 4 \right) = 100000$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} 200000 = 200000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} 100000 = 100000\end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} C\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} C\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} C\left( x \right)$.

Vậy hàm số $C\left( x \right)$ không liên tục tại điểm ${x_0} = 4$.

Ta có: $C\left( {24} \right) = 200000$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{24}^ - }} C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{24}^ - }} 200000 = 200000 = C\left( {24} \right)$

Vậy hàm số $C\left( x \right)$ liên tục trái tại điểm ${x_0} = 24$.

Vậy hàm số $C\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( {0;2} \right),\left( {2;4} \right)$ và nửa khoảng $\left( {4;24} \right]$.