Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau $t$ phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{400 + t}}$(gam/lít).

b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu $t \to  + \infty$.

Lời giải chi tiết

a) Lượng nước biển bơm vào hồ sau $t$ phút là: $15t$ (lít).

Khối lượng muối có trong hồ sau $t$ phút là: $30.15t$ (gam).

Sau $t$ phút kể từ khi bắt đầu bơm, lượng nước trong hồ là: $6000 + 15t$ (lít).

Nồng độ muối tại thời điểm $t$ phút kể từ khi bắt đầu bơm là: $C\left( t \right) = \frac{{30.15t}}{{6000 + 15t}} = \frac{{30.15t}}{{15\left( {400 + t} \right)}} = \frac{{30t}}{{400 + t}}$(gam/lít).

b) $\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{400 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{400}}{t} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30}}{{\frac{{400}}{t} + 1}} = \frac{{30}}{{0 + 1}} = 30$ (gam/lít).

Vậy nồng độ muối trong hồ càng dần về 30 gam/lít, tức là nước trong hồ gần như là nước biển, khi $t \to  + \infty$.