Bài 7 trang 69 SGK Toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân $x$ của hai đoạn thẳng $a,\ b$ (tức là ${x^2} = ab$ ) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên.

Xét $\Delta{ABC}$ có:

$OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2}$ (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Mà $AO$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của $\Delta{ABC}$.

Suy ra $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$ ( tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì là tam giác vuông)

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Áp dụng hệ thức $h^2=b'.c'$, ta được:

$AH^2=BH.CH \Leftrightarrow x^2=a.b$

$\Leftrightarrow x=\sqrt {ab}$

Vậy $x$ là trung bình nhân của $a$ và $b$.

Cách vẽ : Bước $1$: Đặt $BH=a,\ CH=b$. Xác định trung điểm $O$ của đoạn $AB$.

Bước $2$: Vẽ nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$.

Bước $3$: Kẻ thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $BC$. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại $A$.

Bước $4$: Nối $A$ và $H$ ta được $AH=x$ là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng $a,\ b$.

Cách 2 : Vẽ và đặt tên như hình bên dưới

Xét $\Delta{ABC}$ có:

$OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2}$ (cùng bằng bán kính đường tròn (O) )

Mà $AO$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của $\Delta{ABC}$.

Suy ra $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$ (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.  Áp dụng hệ thức $b^2=b'.a$, ta có:

$AB^2 = BC.BH \Leftrightarrow x^2=a.b$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{ab}$

Vậy $x$ là trung bình nhân của $a$ và $b$.

Cách vẽ: Bước $1$: Đặt $BH=a,\ CH=b$. Xác định trung điểm $O$ của đoạn $BC$.

Bước $2$: Vẽ nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$.

Bước $3$: Kẻ đường thẳng đi qua điểm $H$ và vuông góc với $BC$. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại $A$.

Bước $4$: Nối $B$ và $A$ ta được $AB=x$ là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng $a,\ b$.