Bài 75 trang 96 SGK Toán 9 tập 2
Cho đường tròn (O), bán kính OM
Đề bài
Cho đường tròn \((O)\), bán kính \(OM\). Vẽ đường tròn tâm \(O'\), đường kính \(OM\). Một bán kính \(OA\) của đường tròn \((O)\) cắt đường tròn \((O')\) ở \(B\).
Chứng minh cung \(MA\) và cung \(MB\) có độ dài bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
+) Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn.
+) Độ dài cung \(n^0\) của đường tròn bán kính \(R\) là: \(l=\dfrac{\pi Rn}{180}.\)
Lời giải chi tiết
Đặt \(\widehat {MOB} = \alpha \)
\(\Rightarrow \widehat {MO'B} = sđ\overparen{MB} =2\alpha\) (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn \((O’)\) cùng chắn cung \(BM\)).
\(\Rightarrow\) Độ dài cung \(MB\) là:
\(\displaystyle {{l_\overparen{MB}}} = {{\pi .O'M.2\alpha } \over {{{180}^0}}} = {{\pi .O'M.\alpha } \over {{{90}^0}}}(1)\)
Xét đường tròn \((O)\), ta có:
\(\widehat{AOM}\) là góc ở tâm chắn cung \(AM \Rightarrow sđ\overparen{AM}= \alpha. \)
\(\Rightarrow\) Độ dài cung \(MA\) là:
\(\displaystyle {{l_\overparen{MA}}} = {{\pi .OM.\alpha } \over {{{180}^0}}} = {{\pi.2 .O'M.\alpha } \over {{{180}^0}}} = {{\pi O'M.\alpha } \over {{{90}^0}}}(2)\)
(Vì \(OM = 2O’M\))
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow {l_\overparen{MB}}={l_\overparen{MA}}\).