Bài 87 trang 100 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Lấy cạnh $BC$ của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng $BC$. Cho biết cạnh $BC = a$, hãy tính diện tích hình viên phân được tạo thành.

Lời giải chi tiết

Gọi $D,E$ lần lượt là giao của hai cạnh $AB,AC$ với nửa đường tròn đường kính $BC$ có tâm $O$ là trung điểm $BC.$

Bán kính nửa đường tròn này là $R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$

Nối $OE;OD.$ Xét tam giác $OBE$ có $OE = OB = R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$ và $\widehat B = 60^\circ  \Rightarrow \Delta OBE$ là tam giác đều cạnh $\dfrac{a}{2}$

Tương tự ta có $\Delta OCD$ đều cạnh $\dfrac{a}{2}.$

+ Diện tích hình viên phân thứ nhất là ${S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}}$

Diện tích hình quạt $BOE$ có bán kính $R = OB = \dfrac{a}{2}$ và số đo cung $BE = \widehat {BOE} = 60^\circ$  là ${S_{qBOE}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}}$

Kẻ $EH \bot OB$ tại $H$ suy ra $H$ là trung điểm của $OB$ (vì tam giác $OEB$ đều nên $EH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến). Suy ra $OH = \dfrac{{OB}}{2} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}.$

Xét tam giác $EHO$ vuông tại $H,$ theo định lý Pytago ta có $$EH = \sqrt {E{O^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}a$$

Diện tích tam giác $EOB$ là ${S_{\Delta BOE}} = \dfrac{1}{2}EH.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}$

Từ đó diện tích hình viên phân thứ nhất là ${S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}$

Tương tự ta có diện tích hình viên phân thứ hai là ${S_2} = {S_{qDOC}} - {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}.$

Vậy diện tích hai hình viên phhân bên ngoài tam giác là:

$S=S_1+S_2=\dfrac{a^{2}}{24}\left ( 2\pi -3\sqrt{3} \right ).$