Câu 10 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình $y = {x \over 3}$ với đồ thị của hàm số $y = \sin x$ đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn  $\sqrt {10}$

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $y = {x \over 3}$ đi qua các điểm $E(-3 ; -1)$ và $F(3 ; 1)$

Chỉ có đoạn thẳng $EF$ của đường thẳng đó nằm trong dải $\left\{ {\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right)| - 1{\rm{ }} \le {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}1} \right\}$ (dải này chứa đồ thị của hàm số $y = \sin x$).

Vậy các giao điểm của đường thẳng $y = {x \over 3}$ với đồ thị của hàm số $y = \sin x$ phải thuộc đoạn $EF$.

Mọi điểm của đoạn thẳng này cách $O$ một khoảng không dài hơn $OE=OF=\sqrt {3^2 + 1^2} = \sqrt {10}$

Rõ ràng $E, F$ không thuộc đồ thị của hàm số $y = \sin x$ nên khoảng cách từ các giao điểm đến O nhỏ hơn $\sqrt {10}$.