Câu 9 trang 192 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau :

LG a

$y = {1 \over {2x - 1}}\,\text{ với }\,x \ne {1 \over 2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}   {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}}$

Lời giải chi tiết:

Đặt $f(x)=y = {1 \over {2x - 1}}$

Với ${x_0} \ne {1 \over 2}$ ta có:

$\eqalign{  & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}   {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{1 \over {2{x_0} + 2\Delta x - 1}} - {1 \over {2{x_0} - 1}}} \over {\Delta x}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ - 2\Delta x} \over {\Delta x\left( {2{x_0} + 2\Delta x - 1} \right)\left( {2{x_0} - 1} \right)}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ - 2} \over {\left( {2{x_0} + 2\Delta x - 1} \right)\left( {2{x_0} - 1} \right)}}  \cr  &  = {{ - 2} \over {{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}} \cr}$

LG b

$y = \sqrt {3 - x}$ với $x < 3$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $f(x)=y = \sqrt {3 - x}$

Với x ₀ < 3, ta có:

$\eqalign{  & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x}  - \sqrt {3 - {x_0}} } \over {\Delta x}}  \cr  & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{3 - {x_0} - \Delta x - 3 + {x_0}}}{{\Delta x\left( {\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x}  + \sqrt {3 - {x_0}} } \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x\left( {\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x}  + \sqrt {3 - {x_0}} } \right)}}\cr &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ - 1} \over {\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x}  + \sqrt {3 - {x_0}} }} \cr &= {{ - 1} \over {2\sqrt {3 - {x_0}} }} \cr}$